Путешествие в квантовую механику
Если величины fj (xj) и gj (xj) окажутся взаимно зависимыми, то справедливым будет тождество:
Функции fj (xj) и gj (xj) могут носить более сложный математический характер, нежели степенные выражения. Довольно часто с помощью эмпирического метода невозможно описать тот или иной закон природы, тогда исследователи прибегают к составлению дифференциальных уравнений. Разрешить последние иногда бывает затруднительно вследствие невысокой производительности современных компьютеров. В подобных случаях используют суперкомпьютеры.
В следующей главе этой книги будет рассмотрен метод, направленный на решение дифференциальных уравнений с частными производными.
3. К вопросу о разрешимости дифференциальных уравнений в частных производных
Опираясь на методику, которая будет разобрана в данном параграфе, можно численно решить любое дифференциальное уравнение и выявить характерные черты эволюции искомой функции во времени.
3.1 Интерполяция с помощью рядов Фурье
Допустим, что задан набор линейных функций Fk, расположенных на отрезках (kΔx, (k+1) Δx) вдоль оси x ∈ [0,Rx], тогда:
здесь Δx – размер интервалов, куда заключены значения выражений Fk; k – номер вычислительной операции, k∈N.
Тригонометрический ряд, который можно получить для функции F (x,y,z), задаваемой на отрезках (k Δx, (k+1) Δx) для x ∈ [0,Rx], (j Δy, (j+1) Δy) для y∈ [0,Ry] и (χ Δz, (χ+1) Δz) для z∈ [0,Rz], примет следующий вид:
где Θ – индекс, соответствующий той или иной оси координат xΘ.
Построим кусочно‑линейную функцию F (x), тогда:
